당류의 어는점을 계산하는 공식. < △Tf = i Kf m >

젤라또를 만들 때 여러가지 당이 들어간다. 당들마다 당도의 세기나 특징들이 달라서 어떤 당들을 조합하느냐에 따라 젤라또의 당도값이 달라지고 어는점이 달라진다. 

그럼 당들마다 sp값이라고 하는 당도값과 afp 값이라고하는 얼지않게 막는 힘이 다른데 그 중 당류의 afp 값을 계산하는 공식이 있어 공부한 부분을 정리해보고자 한다. 

 

어는점 내림(Freezing Point Depression, FPD) 개념

어는점 내림은 용액에서 용매의 어는점이 순수한 용매보다 낮아지는 현상이다. 이는 콜리케이티브 성질(colligative property) 중 하나로, 용질의 종류가 아니라 농도에만 의존한다. 쉽게 정리하면 일반적인 물은 0℃에서 얼어버린다. 그런데 물에 어떤 물질(예: 설탕이나 포도당)을 섞으면, 물이 더 낮은 온도에서 얼게 된다. 이걸 어는점 내림(Freezing Point Depression, FPD) 이라고 이해하면 좋을 것 같다. 


이 현상은 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

△Tf  = i Kf  m

식의 구성 요소
• △Tf  : 어는점 내림 (℃) ( 어는점이 얼마나 내려가는지 )
• i : 반트호프 계수 (Van’t Hoff factor) → 용질이 해리하는 정도 ( 분자가 물에서 얼마나 쪼개지는지 )
• Kf : 용매의 몰랄 어는점 내림 상수 (water의 경우 1.86 ℃·kg/mol) 
• m : 용질의 몰랄 농도 (mol/kg) 물질(예: 설탕, 포도당)의 몰랄농도 (얼마나 많이 녹았는지)

이때, 설탕(Sucrose, C₁₂H₂₂O₁₁)과 포도당(Glucose, C₆H₁₂O₆) 같은 비전해질(non-electrolyte) 은 물에서 이온화되지 않기 때문에 i = 1 로 간주할 수 있다.

*여기서 몰(mol)은 크기가 매우 작은 입자로 구성된 물질의 양을 입자의 개수로 나타내기 위해 사용하는 단위이다. 즉 물질의 구성 입자인 원자나 분자, 이온, 전자 따위를 나타내는 물질의 양을 나타내는 단위이다. 

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예제 1: 1% w/w 포도당(Glucose) 수용액의 어는점 내림 계산

주어진 조건
• 포도당의 몰질량 (M) = 180.16 g/mol
• 용매(물)의 질량 = 1 kg (1% w/w 수용액이므로, 물 1kg에 포도당 10g이 녹아 있다고 가정)
• Kf (물의 몰랄 어는점 내림 상수) = 1.86 ℃·kg/mol

계산 과정

1. 용질(포도당)의 몰수 계산

Moles of glucose= 10 g 나누기 180.16 g/mol = 0.0555 mol

2. 몰랄 농도(m) 계산

몰랄 농도(m)는 용질의 몰수를 용매(kg)로 나눈 값이다.

m = 0.0555 mol 나누기  1kg = 0.0555 m

3. 어는점 내림 계산

△Tf  = 용매의 몰랄 어는점 내림 상수 Kf ( 1.86 ℃·kg)  x 용질의 몰랄 농도 m (0.0555)

△Tf  = 0.103 C

즉, 물의 어는점은 0.103℃ 감소하여 -0.103℃에서 얼기 시작한다는 것을 알 수 있다. 

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예제 2: 1% w/w 설탕(Sucrose) 수용액의 어는점 내림 계산

주어진 조건
• 설탕의 몰질량 (M) = 342.29 g/mol
• 용매(물)의 질량 = 1 kg (1% w/w 수용액이므로, 물 1kg에 설탕 10g이 녹아 있다고 가정)
• Kf (물의 몰랄 어는점 내림 상수) = 1.86 ℃·kg/mol

계산 과정

1. 용질(설탕)의 몰수 계산

Moles of sucrose = 10 g 나누기 342.29 g/mol = 0.0292  mol

2. 몰랄 농도(m) 계산

m = 0.0292 mol 나누기 1 kg = 0.0292  m

3. 어는점 내림 계산

△Tf  = 용매의 몰랄 어는점 내림 상수 Kf ( 1.86 ℃·kg)  x 용질의 몰랄 농도 m (0.0292)

△Tf  = 0.054 C

즉, 물의 어는점은 0.054℃ 감소하여 -0.054℃에서 얼기 시작한다.

 

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결과 비교 및 분석

같은 질량(10g)을 넣었을 때, 포도당(Glucose)의 몰랄 농도가 설탕(Sucrose)보다 크다.
그 이유는 포도당의 몰질량(180.16 g/mol)이 설탕(342.29 g/mol)보다 작기 때문에 같은 질량을 넣어도 더 많은 몰수가 존재하기 때문이다. 즉 같은 양(10g)을 넣었을 때, 포도당이 설탕보다 더 많이 물에 녹아서 어는점이 더 많이 내려가는 원리이다. 따라서, 포도당이 설탕보다 어는점을 더 많이 내리는 효과를 가진다.

• 포도당 수용액의 △Tf = 0.103℃
• 설탕 수용액의 △Tf = 0.054℃

즉, 같은 질량을 녹이면, 포도당이 설탕보다 더 어는점을 낮춘다.

당류의 afp 값은 설탕이 모든 당의 기준점이된다. 그래서 설탕의 afp 값이 1일 때 포도당의 afp 값이 1.9로 더 높게 나오는 이유이다. 0.054 x 1.9 = 0.103 의 값이 나오게 된다. 그래서 포도당이 설탕의 1.9배에 해당하는 afp 수치 결과값을 얻게된다.